《函数奇偶性》专项基础训练
高考题型+知识点+解析思路+答案
- 选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
【知识点】
奇函数的概念与图像性质：对于函数f(x)，若定义域关于原点对称且满足f(-x)=-f(x)，则为奇函数，其图像关于原点对称。
1.函数的图象（ ）
A.关于轴对称 B.关于直线对称
C.关于原点对称 D.关于直线对称
【知识点】
奇偶函数图像特征：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称，定义域需关于原点对称。
2.下列图象表示的函数中，具有奇偶性的是（ ）
A. B.
C. D.
【知识点】奇函数性质：若f(x)是奇函数，则f(0)=0（定义域含0时），图像过原点；函数图像平移规律：y=f(x-a)是由y=f(x)向右平移a个单位得到。
3.已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（ ）
A. B. C. D.
【知识点】偶函数性质：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称，在对称区间上单调性相反；比较函数值大小需结合单调性。
4.设偶函数的定义域为，当时,是增函数，则
的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【知识点】奇函数单调性：奇函数在对称区间上单调性相同；最值性质：若在[a,b]上最大值为M，则在[-b,-a]上最小值为-M。
5.如果奇函数在区间上是减函数且最大值为5，那么函数在区间上是（ ）
A.增函数且最小值为-5
B.增函数且最大值为-5
C.减函数且最小值为-5
D.减函数且最大值为-5
【知识点】函数奇偶性与单调性综合：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)；减函数定义：对任意x₁<x₂，有f(x₁)>f(x₂)；奇函数在对称区间单调性相同，偶函数在对称区间单调性相反。
6.（多选）对于定义在上的函数，下列命题是真命题的是（ ）
A.若满足，则在上不是减函数
B.若满足则函数不是奇函数
C.若满足在区间上是减函数，在区间上也是减函数，则在上是减函数
D.若满足则函数不是偶函数
E.若奇函数在上是减函数，且最小值是1，则在上是减函数且最大值是-1
- 填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
【知识点】奇函数定义与解析式求法：若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)；已知x>0时f(x)表达式，求x<0时f(x)，可令t=-x(t>0)，则f(-t)=-f(t)，即f(x)=-f(-x)。
7.设是定义在上的奇函数，当时，则_____.
【知识点】偶函数定义与值域：偶函数满足f(-x)=f(x)，定义域关于原点对称；二次函数值域求法：先确定对称轴与开口方向，结合定义域求最值。
- 已知函数是定义在上的偶函数，则函数的值域为_____.
- 解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
【知识点】奇函数单调性与不等式：奇函数f(x)在对称区间单调性相同，且f(0)=0（定义域含0时）；利用单调性解不等式：若f(x)在[a,b]上单调递减，且f(m)≤f(n)，则m≥n（需在同一单调区间内）。
9.设定义在上的奇函数在区间上是减函数，且图象连续.若求实数的取值范围.
【知识点】偶函数定义与解析式：f(-x)=f(x)，已知x≥0时解析式，可通过f(x)=f(-x)求x<0时表达式；二次函数最值：对于f(x)=ax²+bx+c(a>0)，对称轴为x=-b/(2a)，根据对称轴与区间位置关系求最值。
10.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数求函数的最小值.
<br>参考答案
- 选择题
1.答案：C
【知识点】奇函数的判定与图像性质：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，若f(-x)=-f(x)则为奇函数，其图像关于原点对称。
【解题思路】先判断函数定义域是否关于原点对称，再验证f(-x)与-f(x)的关系，从而确定函数奇偶性，进而得出图像对称性。
解析：的定义域为关于原点对称，且
是奇函数，图象关于原点对称.
2.答案：B
【知识点】函数奇偶性的图像特征：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称，且定义域必须关于原点对称。
【解题思路】逐一分析各选项图像的对称性及定义域是否关于原点对称，排除不符合奇偶性定义的选项。
解析：选项A、D中的图象关于原点或轴均不对称，故排除；选项C中的图象所表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.
3.答案：C
【知识点】奇函数性质与图像平移：奇函数满足f(0)=0（定义域含0时），函数y=f(x-a)的图像由y=f(x)向右平移a个单位得到。
【解题思路】先利用奇函数性质f(0)=0求出参数值，再根据函数图像平移规律确定平移后的图像恒过点。
解析：是上的奇函数令解得此时故函数的图象恒过点
4.答案：A
【知识点】偶函数性质与单调性：偶函数满足f(-x)=f(x)，在对称区间上单调性相反；比较函数值大小需将自变量转化到同一单调区间。
【解题思路】利用偶函数性质将f(-3)转化为f(3)，结合已知单调区间比较f(1)、f(2)、f(3)的大小。
解析：由是偶函数得又因为在上是增函数，所以即
5.答案：C
【知识点】奇函数单调性与最值：奇函数在对称区间上单调性相同，若在[a,b]上最大值为M，则在[-b,-a]上最小值为-M。
【解题思路】根据奇函数对称性判断对称区间的单调性，再由已知区间的最大值推出对称区间的最小值。
解析：为奇函数，在区间上的单调性与在区间上的单调性一致，且为最小值.又已知故选C.
6.答案：ADE
【知识点】函数奇偶性与单调性综合：奇函数f(-x)=-f(x)，偶函数f(-x)=f(x)；减函数定义为对任意x₁<x₂，有f(x₁)>f(x₂)。
【解题思路】逐一分析选项，结合奇偶性定义、单调性定义及反例判断命题真假。
解析：显然A是真命题；对于B，设函数满足但是奇函数，故B为假命题；对于C，设函数其在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但在上不是减函数，故C为假命题；显然D是真命题；对于E，因为奇函数在上是减函数，且最小值是1，所以根据奇函数的性质可知，函数在上是减函数，且最大值是-1.故正确的命题是ADE.
二、填空题
7.答案：-5
【知识点】奇函数定义与解析式：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)；已知x>0时解析式，可通过f(-x)=-f(x)求x<0时表达式。
【解题思路】令x=-2（x<0），利用奇函数性质f(-2)=-f(2)，代入已知x>0时的解析式计算。
解析：由题意知
8.答案：
【知识点】偶函数定义与二次函数值域：偶函数定义域关于原点对称，二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)的值域可通过对称轴和开口方向确定。
【解题思路】根据偶函数定义求出参数值，确定函数解析式，再结合二次函数性质求值域。
解析：函数是定义在上的偶函数
即
三、解答题
9.答案：见解析
【知识点】奇函数单调性与不等式：奇函数在对称区间上单调性相同，且f(0)=0（定义域含0时）；利用单调性解不等式需将自变量转化到同一单调区间。
【解题思路】根据奇函数性质判断函数在R上的单调性，将不等式f(1-m)≤f(m)利用单调性转化为自变量的大小关系，结合定义域求解。
解析：因为是奇函数且在区间上是减函数，所以在上是减函数，所以不等式等价于解得所以实数的取值范围是
10.答案：见解析
【知识点】偶函数定义与二次函数最值：偶函数满足f(-x)=f(x)，二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)的最值可通过对称轴与区间位置关系分类讨论。
【解题思路】（1）利用偶函数性质求x<0时的解析式；（2）根据二次函数对称轴与给定区间的位置关系，分情况讨论函数最小值。
解析：（1）当时又函数是定义在上的偶函数，所以所以函数的解析式为
（2）由（1）知其图象的对称轴为直线
①当即时，函数的最小值为
②当即时，函数的最小值为
③当即时，函数的最小值为